# 🚀 Ejemplos Avanzados de Fórmulas Matemáticas en Ghost
Este documento contiene ejemplos de expresiones matemáticas complejas para probar el sistema LaTeX/KaTeX.
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## 📊 Ecuaciones Financieras y de Auditoría
### 1. Modelo de Tasa de Interés Compuesto con Utilización
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$$r(u) = r_0 \cdot \left(1 + \frac{u}{u_{optimal}}\right)^{\alpha} + r_{slope} \cdot \frac{u^2}{1-u} + \beta \cdot \ln\left(\frac{1}{1-u}\right)$$
```
**Donde:**
- $r_0$ es la tasa base
- $u \in [0, 1)$ es la utilización
- $u_{optimal} = \frac{r_{base}}{r_{slope} + r_{base}}$ es la utilización óptima
- $\alpha, \beta$ son parámetros de ajuste
### 2. Valor Presente Neto (NPV) con Flujos Variables
```
$$NPV = \sum_{t=0}^{T} \frac{CF_t}{(1 + r)^t} - C_0 = \sum_{t=0}^{T} \frac{CF_t \cdot (1-\tau)}{(1 + WACC)^t} - I_0$$
```
**Con condición de viabilidad:**
$NPV > 0 \Rightarrow$ proyecto viable
### 3. Fórmula de Black-Scholes para Opciones
```
$$C(S_t, t) = S_t \cdot N(d_1) - K \cdot e^{-r(T-t)} \cdot N(d_2)$$
$$d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S_t}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$$
$$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T-t}$$
```
**Donde:**
- $C$ es el precio de la opción call
- $S_t$ es el precio actual del activo
- $K$ es el strike price
- $r$ es la tasa libre de riesgo
- $\sigma$ es la volatilidad
- $N(\cdot)$ es la función de distribución normal estándar
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## 🔢 Matemáticas Avanzadas
### 4. Integral Definida con Función Compleja
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$$\int_{a}^{b} \frac{x^3 \cdot e^{-x^2}}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx = \left[\frac{-e^{-x^2}}{\sqrt{x^2+1}}\right]_{a}^{b}$$
```
### 5. Serie de Taylor Multi-variable
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$$f(x,y) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{n! \, m!} \left(\frac{\partial^{n+m} f}{\partial x^n \partial y^m}\right)_{(a,b)} (x-a)^n(y-b)^m$$
```
### 6. Límite Complejo
```
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$$
```
### 7. Producto Integral (Pi Notation)
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$$\prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{1}{k^2}\right) = \frac{\sinh(\pi)}{\pi} \cdot \prod_{k=1}^{n} \frac{(k+1)^2}{k^2}$$
```
### 8. Derivadas Parciales de Alto Orden
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$$\frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+2h,y+h) - 2f(x+h,y+h) + f(x,y+h) - f(x+2h,y) + 2f(x+h,y) - f(x,y)}{2h^3}$$
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## 📐 Álgebra Lineal
### 9. Sistema de Ecuaciones (usando aligned)
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$$\begin{aligned}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 &= b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 &= b_2 \\
a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 &= b_3
\end{aligned}$$
```
### 10. Matriz de Covarianza
```
$$\Sigma = \begin{pmatrix}
\sigma_1^2 & \rho_{12}\sigma_1\sigma_2 & \rho_{13}\sigma_1\sigma_3 \\
\rho_{21}\sigma_2\sigma_1 & \sigma_2^2 & \rho_{23}\sigma_2\sigma_3 \\
\rho_{31}\sigma_3\sigma_1 & \rho_{32}\sigma_3\sigma_2 & \sigma_3^2
\end{pmatrix}$$
```
### 11. Determinante 3x3
```
$$\det(A) = \begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{vmatrix} = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)$$
```
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## 🎲 Probabilidad y Estadística
### 12. Distribución Normal Multivariada
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$$f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{k/2}|\Sigma|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^T\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right)$$
```
### 13. Teorema de Bayes Extendido
```
$$P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{P(B)}$$
```
### 14. Esperanza Condicional
```
$$\mathbb{E}[X|Y=y] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_{X|Y}(x|y) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} \, dx$$
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## 💱 Criptografía y Blockchain
### 15. Hash Rate y Dificultad de Mining
```
$$\text{Difficulty} = \frac{\text{Target}_{max}}{\text{Target}_{current}} \quad \text{y} \quad \text{Hash Rate} = \frac{2^{256}}{\text{Target} \cdot \text{Block Time}}$$
```
### 16. Curva Elíptica (ECDSA)
```
$$y^2 \equiv x^3 + ax + b \pmod{p}$$
**Adición de puntos:**
$$P + Q = R \quad \text{donde} \quad \lambda = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} \pmod{p}$$
```
### 17. Merkle Root Calculation
```
$$H_{root} = H(H(H(tx_1) \parallel H(tx_2)) \parallel H(H(tx_3) \parallel H(tx_4)))$$
**Donde** $H$ **es una función hash criptográfica** (ej: SHA-256)
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## 🔐 Smart Contract Math
### 18. AMM Constant Product Formula (Uniswap)
```
$$x \cdot y = k$$
**Precio después del swap:**
$$\Delta y = \frac{y \cdot \Delta x \cdot (1-\phi)}{x + \Delta x \cdot (1-\phi)}$$
**Donde** $\phi$ **es la comisión del protocolo** (típicamente 0.3%)
### 19. Bonding Curve con Reserva
```
$$P(s) = \frac{R(s)}{s \cdot CW} = \frac{1}{CW} \cdot \frac{\int_0^s P(\tau) \, d\tau}{s}$$
**Para una curva lineal:**
$$R(s) = \frac{m \cdot s^2}{2} + b \cdot s$$
```
### 20. Impermanent Loss Formula
```
$$IL = \frac{2\sqrt{r}}{1+r} - 1 = \frac{2\sqrt{P_{new}/P_{old}}}{1 + P_{new}/P_{old}} - 1$$
**Donde** $r$ **es el ratio de cambio de precio**
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## 🧮 Expresiones con Múltiples Casos
### 21. Función por Partes
```
$$f(x) = \begin{cases}
x^2 & \text{si } x < 0 \\
2x + 1 & \text{si } 0 \leq x \leq 5 \\
e^{x-5} + 11 & \text{si } x > 5
\end{cases}$$
```
### 22. Collateral Ratio con Liquidación
```
$$CR = \frac{V_{collateral}}{V_{debt}} = \begin{cases}
\text{Safe} & \text{si } CR \geq 150\% \\
\text{Warning} & \text{si } 120\% \leq CR < 150\% \\
\text{Liquidation} & \text{si } CR < 120\%
\end{cases}$$
```
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## 🎯 Optimización y Cálculo Variacional
### 23. Lagrangiano con Restricciones
```
$$\mathcal{L}(x, y, \lambda, \mu) = f(x,y) + \lambda \cdot g(x,y) + \mu \cdot h(x,y)$$
**Condiciones KKT:**
$$\nabla f + \lambda \nabla g + \mu \nabla h = 0, \quad g(x,y) = 0, \quad h(x,y) \leq 0, \quad \mu \geq 0$$
```
### 24. Hamiltoniano
```
$$H(q, p, t) = \sum_{i=1}^{n} p_i \dot{q}_i - L(q, \dot{q}, t) = T + V$$
**Ecuaciones de Hamilton:**
$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$
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## 🌊 Ecuaciones Diferenciales
### 25. Ecuación de Navier-Stokes
```
$$\rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}$$
```
### 26. Ecuación de Schrödinger
```
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right]\Psi(\mathbf{r},t)$$
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## 🎓 Ejemplos de Auditoría Específicos
### 27. Análisis de Riesgo de Liquidación
```
$$P_{liquidation} = \frac{D \cdot LR}{C} \quad \Rightarrow \quad \text{Si } P_{actual} \leq P_{liquidation} \Rightarrow \text{Liquidar}$$
**Health Factor:**
$$HF = \frac{\sum C_i \cdot LT_i \cdot P_i}{\sum D_j \cdot P_j} \geq 1$$
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### 28. Slippage en DEX
```
$$\text{Slippage} = \left|\frac{P_{execution} - P_{expected}}{P_{expected}}\right| \times 100\%$$
$$P_{execution} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y \cdot \Delta x \cdot (1-\phi)}{(x + \Delta x)^2} \cdot k$$
```
### 29. APY vs APR (Compound Interest)
```
$$APY = \left(1 + \frac{APR}{n}\right)^n - 1$$
**Para compound continuo:**
$$APY_{continuous} = e^{APR} - 1$$
```
### 30. Maximum Extractable Value (MEV)
```
$$MEV_{total} = \sum_{i=1}^{n} \max\left(0, \Delta P_i \cdot V_i - G_i - C_i\right)$$
**Donde:**
- $\Delta P_i$ = diferencia de precio arbitrable
- $V_i$ = volumen de la transacción
- $G_i$ = gas fees
- $C_i$ = costos de competencia
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## 🧪 Para Probar en Ghost
### Ejemplo Completo de Post Técnico
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## Análisis de Modelo de Liquidación
El protocolo implementa un sistema de liquidación basado en el health factor:
$$HF = \frac{\sum_{i=1}^{n} C_i \cdot LT_i \cdot P_i}{\sum_{j=1}^{m} D_j \cdot P_j}$$
### Condiciones Críticas
El usuario está en riesgo de liquidación cuando $HF < 1$. La penalización de liquidación se calcula como:
$$\text{Penalty} = D \cdot \beta \cdot \left(1 - \frac{HF}{HF_{threshold}}\right)^{\gamma}$$
Donde:
- $\beta \in [0.05, 0.15]$ es el factor base de penalización
- $\gamma \geq 1$ ajusta la severidad (típicamente $\gamma = 2$)
- $HF_{threshold}$ es típicamente 1.0
### Recomendaciones para Auditores
1. **Verificar rangos:** Asegurar que $\beta \in (0, 1)$ y $\gamma > 0$
2. **Casos extremos:** Probar comportamiento cuando $HF \rightarrow 0^+$
3. **Overflow protection:** Validar que $\prod_{i} (1 + r_i) < 2^{256}$ para evitar overflow
4. **Precision loss:** Verificar que operaciones con $10^{-18}$ mantienen precisión adecuada
### Simulación de Escenarios
Para $n$ activos colaterales con precios correlacionados:
$$\mathbb{E}[HF] = \frac{\sum_{i} \mathbb{E}[C_i \cdot P_i] \cdot LT_i}{\sum_{j} D_j \cdot \mathbb{E}[P_j]}$$
Con volatilidad:
$$\text{Var}(HF) \approx \left(\frac{\partial HF}{\partial \mathbf{P}}\right)^T \Sigma_P \left(\frac{\partial HF}{\partial \mathbf{P}}\right)$$
```
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## 💡 Tips para Expresiones Complejas
1. **Fracciones anidadas:** Usa `\frac{}{}` múltiples veces
2. **Sumas/Productos:** Usa `\sum_{inicio}^{fin}` y `\prod_{inicio}^{fin}`
3. **Integrales:** Usa `\int_{a}^{b}` con `\, dx` para el diferencial
4. **Matrices:** Usa `\begin{pmatrix}...\end{pmatrix}` o `\begin{bmatrix}...\end{bmatrix}`
5. **Casos:** Usa `\begin{cases}...\end{cases}`
6. **Alineación:** Usa `\begin{aligned}...\end{aligned}` dentro de `$$...$$`
7. **Espaciado:** Usa `\,` (thin), `\:` (medium), `\;` (thick), `\quad`, `\qquad`
8. **Texto en ecuaciones:** Usa `\text{texto aquí}`
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## 🎨 Símbolos Especiales Avanzados
- Negrita: `\mathbf{x}` → **x**
- Caligráfica: `\mathcal{L}` → ℒ
- Blackboard bold: `\mathbb{R}` → ℝ
- Fraktur: `\mathfrak{g}` → 𝔤
- Sombrero: `\hat{x}`, `\widehat{xyz}`
- Barra: `\bar{x}`, `\overline{xyz}`
- Tilde: `\tilde{x}`, `\widetilde{xyz}`
- Vector: `\vec{v}`, `\overrightarrow{AB}`
- Punto: `\dot{x}`, `\ddot{x}` (derivadas temporales)
- Prime: `f'(x)`, `f''(x)`, `f^{(n)}(x)`
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## 🚀 ¡Pruébalo!
Copia cualquiera de estos ejemplos en un post de Ghost y verifica que se rendericen correctamente. Estos son algunos de los casos más complejos que puedes usar para auditorías blockchain y análisis DeFi.
**Nota:** Todas estas expresiones son compatibles con KaTeX y se renderizarán correctamente en tu sitio.
